Lista esercitazioni anno 2008/2009 II Parte

 

1)

 

Esercitazione Teorema Limite Centrale. Simulare il campionamento di m valori da n variabili aleatorie. Le variabili siano uniformemente distribuite tra 0 e 1. Riportare l’istogramma delle singole variabili. Considerare le n-1 variabili aleatorie costituite rispettivamente dalla somma delle prime due, delle prime tre, etc. variabili aleatorie originarie. Per ognuna di esse farne l’istogramma e confrontarlo con gli istogrammi delle singole variabili e delle altre variabili ottenute dalle somme.

 

2)

 

Ripetere l’esercitazione precedente dove le singole variabili aleatorie differiscono per varianza e valore medio.

 

3)

 

Simulare il processo di stima di un parametro q eseguita da m laboratori differenti. Ogni laboratorio esegue n misure del parametro. Si supponga il parametro q descritto da una variabile gaussiana a valore medio pari a 10 e varianza unitaria. Si verifichino le leggi per distribuzione della media e della deviazione standard della stima.

 

4)

 

Eseguire in Matlab tutti  gli esempi riportati nella dispensa “Test delle Ipotesi sulla media”  (pdf)

5)

 

Eseguire l'esercitazione sul test dell'ipotesi applicato al modello di regressione come indicato nella dispensa "Test delle Ipotesi nel Modello di Regressione" (pdf)

 

6)

 

Calcolare le componenti principali a partire dalle variabili contenute nel file dati “data_brain.txt”.

Discutere l’importanza della normalizzazione delle variabili originarie.

 

Tracciare il grafico della varianza spiegata dalle singole componenti principali.

 

Tracciare e discutere il cerchio delle correlazioni.

 

Caratterizzare gli individui nel piano delle componenti principali.

(i dati sono ricavati dalla seguente ricerca: Willerman, L., Schultz, R., Rutledge, J. N., and Bigler, E. (1991), "In Vivo Brain Size and Intelligence," Intelligence, 15, 223-228) 

Vai qui per Note per Esercitazione

 

 7)

Considerare la sequenza ottenuta campionado la funzione s₁(t)=exp(j*2*pi*t/T0) con T0=1 s, e dt=0.01. Fare il grafico sul piano di Gauss, parte reale-parte immaginaria della sequenza.

Evidenziare con due circoletti di diverso colore i punti s(0) e s(dt).

Fare i grafici rispetto al tempo della parte reale e della parte immaginaria di s1(t).

Ripetere le operazioni precedenti per s_-1(t)=exp(-j*2*pi*t/T0).

Fare il grafico rispetto al tempo del segnale s(t)=s_-1(t)+s₁(t)

8)
Considerati i coefficienti complessi S₁=5e^j*pi/4 e S_-1=5e^-j*pi/4 si ripetano i punti descritti nell'esercizio 7)  per i segnali   s₁(t)=S₁exp(j*2*pi*t/T0), s_-1(t)=S_-1exp(-j*2*pi*t/T0) e s(t)=s_-1(t)+s₁(t).

9)
Dato lo sviluppo in serie di Fourier di un'onda quadra con periodo T₀=2 s,  caratterizzato dai seguenti valori dei coefficienti.
S₀=0.5 e S_n=0.5*(sin(n*pi/2)/(n*pi/2)) per n≠0.
Fare il grafico rispetto al tempo delle componenti s_|n|(t)=s_-n(t)+s_+n(t) per n=0, 1,2,...,9. In pratica si avranno 9 grafici dove saranno visualizzate le componenti per n=0, n=1, n=2 etc.
(N.B. in realtà i coefficienti per n pari sono nulli quindi la somma riguarderà solo n=0,1,3,5,7,9)

Sovrapporre a tali grafici il grafico della onda quadra ottenuta tramite il comando square(.) di matlab. es. onda_q=0.5+0.5*square(2*pi*(1/T₀)*t)

Considerare poi i segnali ottenuti in modo incrementale le varie componenti: primo passo -> grafico di  s₀(t)+s_|1|(t), secondo passo ->grafico di  s₀(t)+s_|1|(t)+s_|2|(t) etc.

Per valutare il contributo delle componenti a frequenza maggiore fare il grafico della somma delle componenti dalla 5 alla 9, s_|5|(t)+s_|7|(t)+s_|9|(t)

In ogni grafico confrontare con l'onda quadra completa.

10)

Date la sequenza periodica ottenuta campionando con tempo di campionamento T=1 s,  il  segnale tempo continuo x1(t)=cos(2*p*t/8), utilizzare l'algoritmo di fft per calcolarne la TDF. Tracciare i grafici modulo e fase della TDF. Curare la determinazione del corretto periodo delle sequenze campionate e la corretta taratura dell'asse frequenziale.

 

x1(t)=cos(2*p*t/8)

vedere dispensa

 

11)

 

Calcolare la TDF del treno di impulsi dato dalla ripetizione periodica della sequenza x[n]=[1 1 1 1 0 0 0 0 ]. Tracciare i grafici modulo e fase della TDF. Curare la corretta taratura dell'asse frequenziale.

vedere dispensa

12)

Realizzare l'operazione di convoluzione discreta nel dominio del tempo, senza utilizzare il comando conv(.). Il risultato del comando suddetto potrà essere utilizzato solo per confronto.

Come sequenze utilizzare x1=[1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  ] e x2=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10].

Utilizzare la definizione di convoluzione lineare discreta che potrete trovare nella seguente dispensa.

 

13)

Realizzare la convoluzione circolare tramite TDF. Porre attenzione allo utilizzo dello zero padding.
Mostrare sia il risultato ottenuto senza lo zero padding e con lo zero padding opportuno.

14)

 

Analisi spettrale tramite TDF.

Caso della sequenza finita  x[n]=u[n]-u[n-5]. Calcolarne la trasformata di Fourier tramite la TDF.

Mostrare l’effetto dello zero padding con N=5, 10 e 20. Confrontare con la trasformata di Fourier calcolata analiticamente.

Vedere dispensa

 

15)

 

Si consideri la sequenza ottenuta campionando con T=1 s, il segnale x(t)=cos(2*p*t/8). Stimare la Trasformata di Fourier della sequenza ottenuta osservando il segnale per T_oss=8 s, 16 s, 100 s. Fare il grafico modulo e fase delle trasformate. Curare la taratura dell'asse frequenziale in ogni caso.

Ripetere la stima della trasformata utilizzando uno zero padding tale da avere N=100 campioni. Osservare la differenza tra aumentare la risoluzione operando lo zero padding, quindi aggiungere zeri, e aggiungere campioni, quindi aumentare il tempo di osservazione: in particolare osservare l'effetto del troncamento temporale del segnale sulla "vera risoluzione" frequenziale.

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16) 

Filtro passa basso FIR con metodo finestre. Vedere dispensa

17)

Ripetere esercitazioni filtro IIR e FIR come indicato nella dispensa.

18)

Esercitazione risposta emodinamica del 18 Maggio 2009. Vedere qui